Vloeistoffen met een hoog-Prandtl-getal (Pr=500, kenmerkend voor oliën met een hoge- viscositeit, glycerine of polymeersmelt) hebben een zeer lage thermische diffusiviteit vergeleken met momentumdiffusie. Warmteoverdracht wordt gedomineerd door geleiding en niet door convectie tijdens het opwarmen-. De tijd die een PFA-verwarmer nodig heeft om een dergelijke vloeistof op 90% van het instelpunt te brengen, wordt bepaald door de thermische diffusietijdconstante, niet door de wattdichtheid van de verwarmer. Voor een tank met karakteristieke lengte L (bijvoorbeeld 0,5 m) is de thermische diffusietijd τ_diff=L² / , waarbij de thermische diffusiesnelheid (m²/s) is. Voor Pr=500, uitgaande van de thermische diffusiteit=ν/Pr, met ν typisch voor olie (50 cSt=5e-5 m²/s),=5e-5/500=1e-7 m²/s. Voor L=0.5 m, τ_diff=(0,5)² / 1e-7=0.25 / 1e-7=2.5e6 seconden=694 uur. Dat zijn 29 dagen, duidelijk niet praktisch. De berekening onthult een belangrijk inzicht: voor vloeistoffen met een zeer hoge Pr vereist uniforme verwarming geforceerde convectie of zeer lange weektijden. Ingenieurs moeten recirculatiepompen of meerdere verwarmingstoestellen gebruiken om de effectieve thermische diffusielengte te verkleinen.
Berekeningsmethode voor opwarmtijd-
The 90% setpoint time for a batch of fluid heated by an immersed PFA heater is the sum of two components: (1) the time to heat the boundary layer near the heater, and (2) the time for heat to diffuse through the bulk fluid. For low-Pr fluids (water, Pr≈7), bulk mixing (natural convection) dominates, and the time is governed by the heater power. For high-Pr fluids (Pr>100), is de natuurlijke convectie zwak of afwezig, en is de warmteoverdracht-beperkt.
Het Fouriergetal Fo=× t / L² bepaalt de temperatuurpenetratiediepte. Voor een vloeistof die aanvankelijk op T0 staat en een verwarmer op Twall, bereikt de temperatuur op afstand x 90% van (Twall – T0) wanneer Fo ≈ 0,5 (voor een semi-oneindige plaat) of Fo ≈ 0,2 (voor een bol). Voor een tank van 0,5 m, =1e-7 m²/s, L=0.5 m, Fo=0.2 → t=Fo × L² /=0.2 × 0,25 / 1e-7=500.000 seconden=5.8 dagen. Dit is nog erg lang.
Praktische aanpak:
Bereken de thermische diffusiviteit van de vloeistof:=k / (ρ × c_p), waarbij k de thermische geleidbaarheid is (W/m·K), ρ de dichtheid is en c_p de soortelijke warmte is.
Schat de karakteristieke diffusielengte L=tankdiameter of de helft van de kleinste afmeting.
Bereken de geleidingstijd: t_cond=0.2 × L² / .
Vergelijk met de tijd dat de vloeistof goed was-gemengd: t_mix=m × c_p × ΔT / P, waarbij m massa is en P het verwarmingsvermogen is.
De werkelijke tijd is het maximum van t_cond en t_mix (welke van de twee langer is), omdat de vloeistof niet sneller kan opwarmen dan diffusie toelaat.
Voorbeeldberekening voor Pr=500 olie
| Parameter | Waarde | Eenheid |
|---|---|---|
| Vloeistof | Zware olie (ISO VG 220) | |
| Temperatuurstijging ΔT | 20 graden tot 80 graden (60 graden) | |
| Tankgrootte (kubus) | 0,5 meter aan elke kant | |
| Volume | 125 L | |
| Massa | 110 kg (ρ=880 kg/m³) | |
| Soortelijke warmte c_p | 2.000 J/kg·K | |
| Thermische geleidbaarheid k | 0.14 W/m·K | |
| Thermische diffusiteit | 0.14 / (880×2000) = 7.95e-8 ≈ 8e-8 m²/s | |
| Prandtl-nummer | Pr=ν/ , ν=4e-5 m²/s → 4e-5/8e-8=500 | |
| Geleidingstijd t_cond | 0,2 × (0,5)² / 8e-8=0.05 / 8e-8=625.000 s=7.2 dagen | |
| Verwarmingsvermogen (stel 3 kW) | 3,000 W | |
| Gemengde tijd t_mix | (110×2000×60) / 3000=13.200.000/3000=4.400 s=1.2 uur | |
| Werkelijke 90% tijd | 7,2 dagen (verspreiding-beperkt) |
Zonder recirculatie bereikt de olie bij de verwarming binnen enkele uren een temperatuur van 80 graden, maar het duurt meer dan een week voordat de olie aan de verste tankwand is opgewarmd. De verwarmer zou plaatselijk oververhitten (aanslaan, PFA afbreken) terwijl hij wachtte op het opwarmen van de bulk-.
Beperkingsstrategieën voor vloeistoffen met een hoge-pr
| Strategie | Effectieve L (m) | Nieuwe t_cond | Implementatiekosten |
|---|---|---|---|
| Natuurlijke convectie (geen) | 0.5 | 7,2 dagen | $0 |
| Recirculatiepomp installeren (1 m³/uur) | N.v.t. (gemengd) | 1,2 uur (mix-beperkt) | $1,500 |
| Gebruik meerdere verwarmers (3 verwarmers, op afstand) | 0,25 (halve afstand) | 1,8 dagen | $ 2.000 (2 extra verwarmingstoestellen) |
| Installeer statische mengplaten | 0.3 | 2,6 dagen | $800 |
| Gebruik een verwarming met verlengde vinnen | 0.4 | 4,6 dagen | $300 |
| Roeren met mechanische roerder (100 RPM) | N.v.t. (gemengd) | 1,2 uur (mix-beperkt) | $ 2.500 (motor + as) |
Recirculatie of mechanisch roeren is de enige praktische oplossing voor Pr > 100. Zonder mengen wordt de opwarmtijd dagen of weken, en zal de PFA-verwarmer oververhit raken en defect raken als gevolg van kalkaanslag (als het op water-gebaseerd is) of oxidatie (als het op olie-gebaseerd is). Geef voor Pr=500 een recirculatiepomp op die geschikt is voor minimaal 1 volumeomzet per uur.
Veldvoorbeeld
Een farmaceutische fabriek verwarmde glycerine met hoge- viscositeit (Pr≈600, 50 graden tot 90 graden) in een tank van 200 liter met een enkele PFA-verwarmer van 6 kW zonder recirculatie. Na 24 uur was de glycerine bij de verwarming 90 graden, maar het grootste deel was slechts 55 graden. Het verwarmingsoppervlak bereikte een temperatuur van 150 graden, wat glycerinepolymerisatie en vervuiling veroorzaakte. De installatie heeft een recirculatiepomp (2 m³/uur) toegevoegd. Na 3 uur bereikte de hele tank een temperatuur van 88-92 graden en bleef het verwarmingsoppervlak onder de 110 graden. De polymerisatie is gestopt. De 1.000 pompen bespaarden 1.000 pompen en bespaarden 5.000 vervangingen van de verwarming en wekenlange stilstand.
Conclusie: De diffusietijd domineert voor Pr=500 vloeistoffen
Voor een vloeistof met een hoog-Prandtl-getal (Pr=500) wordt de tijd die een PFA-verwarmer nodig heeft om 90% van het instelpunt te bereiken, bepaald door thermische diffusie, niet door verwarmingsvermogen. In een tank van 0,5 m zonder menging is de geleidingstijd 5–10 dagen - 100× langer dan de mengtijd. Zonder geforceerde convectie of mechanisch roeren zal de verwarmer plaatselijk oververhitten, waardoor kalkaanslag, vervuiling of PFA-afbraak ontstaat. Ingenieurs moeten recirculatiepompen of roerwerken specificeren voor elke procesvloeistof met Pr > 100. De berekeningsmethode: t_90%=0.2 × L² / . Als t_90% de aanvaardbare procestijd overschrijdt, voeg dan menging toe. Voor Pr=500 dagen mixen of wachten. De keuze is duidelijk.
